¿Puede mi marido pelear custodia de su hijo si no lleva su apellido?

Mi marido tuvo una pareja con la que tuvo un hijo, ella se fue y no le permitió estar con ella durante el embarazo ni al nacimiento del niño, ella lo registró como madre soltera. Después a la edad aproximada de 2 años regreso con ella y estuvieron viviendo juntos y por motivos de infidelidad de ella se volvieron a separar, ahora regreso con el niño ya de 3 años el está conmigo actualmente y tenemos una bebe de 6 meses. Él le da apoyo del 50% de los gastos del niño a ella ya hace casi 9 meses y lo ve ocasionalmente, mis suegros se encargan de recoger y llevar a niño de vuelta con su mamá, puesto que el no tiene comunicación con ella directamente a raíz de que no puedo evitar que ella se altere cada que se comunican, ella toma medicamento psiquiátrico controlado y por eso el decidió no relacionarse directamente. Mi marido quiere pelear la custodia puesto que ella ha comenzado ha hablarle mal de él y lo amenaza con no dejar que lo vea, la abuela fraterna del niño con quien viven argumenta que en ovaciones no quiere cuidar al niño y busca con quien dejarlo para poder estar sola.