Registro público de propiedad para rentar ¿Existe algún riesgo?

El Registro es precisamente Público, cualquier persona puede consultar a nombre de quien están las fincas en cualquier momento, y la entrega de copias simples no entraña ningún conflicto de ninguna manera.
No es para nada necesario acreditarle a un posible inquilino que se es dueño de la finca que estas pretendiendo rentar, pero tampoco te afecta.