Que debo hacer para cambiarle los apellidos a mi sobrino y ponerle los míos?

A casa de mi mamá y mía, llego una prima hija de una hermana de mi mamá, a pedir apoyo porque estaba embarazada y desafortunadamente el papá no se hizo cargo de ellos, por lo tanto aceptamos apoyarla sin ninguna condición, solo le pedimos que una vez naciendo el bebé ella se hiciera cargo de su hijo trabajando para la manutención de su hijo, desafortunadamente ella no tenía planeado la llegada del bebé diciendo que no puede ser cariñosa con su hijo porque no le nace.
A sus ahora 4 años de edad a la fecha mi mamá y yo nos estamos haciendo responsables del mi sobrino sin ninguna problema y de de todo corazón por el.
Mi sobrino sufre de problemas de salud, pero la mamá no quiere trabajar en un empleo que le brinde el servicio médico conforme a la ley del trabajo como derecho del trabajador, argumentando que no quiere encerrarse en un trabajos prefiriendo trabajar en tiendas en donde no le proporcionan el seguro como trabajador formal.
Es por eso que quiero ponerle mis apellidos para darle el seguro del Issste, ya que trabajo en una dependencia de gobierno. No busco provocar un pleito arrebatarle a su hijo ni mucho menos quitarle el derecho como mamá. Simplemente darle el seguro a mi sobrino por sus problemas de salud. No puedo quedarme sin hacer algo por mi sobrino.