Quiero la custodia de mi hija pero no esta registrada con mi apellido

Buenas tardes, le comento que vivo con mi pareja el cual tiene una niña de 1 año y 4 meses fuera de nuestra relación, el caso es que la madre de la niña y él nunca estuvieron casados y rompieron relaciones estando ella embarazada porque ella no quiso dejar las drogas, la mujer no quiso que mi pareja registrara a la niña porque el es ciudadano americano y dijo que podría llevarse la niña a USA, pero se la estuvo prestando un tiempo en el cual mi esposo compraba pañales, ropa y leche pero sin previo aviso ella dejaba de prestársela o ya no contestaba las llamadas, hasta que pasaban meses y volvía a aparecer para que la ayudara de nuevo, la niña a estado presente cuando su madre se droga y en el mejor de los casos la lleva con su abuela para que la cuide mientras ella sacia su vicio, la abuela tiene conocimiento de la drogadicción de su hija y no interfiere con ello también el hijo mayor vive en su casa y también es drogadicto. La niña esta envuelta en ese mundo y mi esposo quiere la custodia de ella pero necesita asesorarse. ¿Que se puede hacer en este caso?