¿Me pueden quitar los derechos de custodia?

Tengo un menor de 8 días de nacido el cual aun no esta registrado, su padre es de nacionalidad américana el cual le es posible ir y venir del país, actualmente se encuentra viviendo en Houston Texas y amenaza con quitarme la custodia de mi hijo y llevárselo del país, cabe mencionar que desdé el momento en que yo le mencione del embarazo el decidió alejarse de mi y jamás aporto económicamente nada hasta el día de hoy no a cubierto ningún gasto y me amenaza con iniciar un juicio por paternidad, yo quisiera quedarme con la custodia de mi hijo ya que yo me he echo cargo en todo momento de él y no se me hace justo que me aleje el de mi hijo cuando se desentendió desdé el primer momento, incluso yo page parto y todo lo que el embarazo con llevó, mi pregunta es: ¿qué podría hacer para evitar compartir la custodia con él señor? Debo decir que también padece de alcoholismo y drogadición y temo que mi hijo quede en manos de una persona así, espero me puedan ayudar ya que estoy muy confundida y me aterroriza la idea de saber que me pueden separar de mi recién nacido, por su atención gracias.